numeri primi

Storie di numeri e numeri primi

Continuano i Radio Post di Redooc su Radio27 de La27Ora, il blog al femminile del Corriere della Sera

Oggi parliamo di numeri … anche dei numeri primi in un altro articolo della serie sulla Matematica quotidiana. Ecco il radio post per scoprire i numeri

Il sistema decimale e la scoperta del numero zero

Il sistema di numerazione che utilizziamo prevalentemente e quotidianamente, è un sistema decimale: si basa su 10 numeri: 0, 1, 2, 3…. fino al 9.

Apro una piccola parentesi. Lo zero, il primo di tutti i numeri, è stato l’ultimo ad essere inventato, in India. Infatti è nato come simbolo (per rappresentare una colonna vuota), un modo pratico per facilitare i calcoli. Come vero e proprio numero è stato scoperto dopo… solo qualche secolo fa.

Ancora adesso facciamo fatica a considerare lo zero come numero.
Qualche esempio? Iniziamo sempre a contare da 1 e terminiamo con il 10. Inoltre, sulla tastiera dei telefoni lo zero è messo in basso, tra asterisco e cancelletto: è considerato come un simbolo!

Matilde, recentemente mi ha fatto notare che i numeri sono maschili (0,1,2,3,4…) e le operazioni sono femminili (l’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, … la potenza, la radice quadrata…)? E qui ci sarebbero lunghe analisi da fare, che magari facciamo un’altra volta.

A scuola ci insegnano che ci sono un sacco di tipi di numeri: naturali, relativi, razionali, irrazionali; ma ce ne dimentichiamo, nella routine dell’uso comune dei numeri positivi, negativi, delle frazioni, dei numeri con infiniti numeri dopo la virgola.

Il fascino infinito dei numeri primi

I numeri più affascinanti sono i numeri primi. Sì, lo so, state pensando ad un famoso libro che parla della solitudine tipica dei numeri primi :-)

La serie dei numeri primi è: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19, 23, 29, 31 … una serie infinita. Si discute dove iniziano (qualcuno dice 1 …) e non si sa dove finiscono … e soprattutto non si sa per certo che ritmo seguono!

Sono affascinanti anche perché sono alla base della crittografia (o meglio crittologia) che per abitudine abbiniamo ai messaggi segreti militari, ma in realtà fanno parte della nostra vita quotidiana, per esempio nell’acquisto online di un biglietto aereo. Uno dei sistemi più usati si basa proprio sul fatto che è facile calcolare il prodotto di due numeri primi (anche molto grandi), ma dato un numero è molto difficile scomporlo, cioè trovare i numeri primi che lo costituiscono.

I numeri primi a scuola invece non hanno nessun fascino: sono semplicemente quelli divisibili per se stessi e per 1 … che si confrontano con i numeri composti, divisibili per se stessi, per 1 e per qualche altro numero. Quindi possono essere ottenuti come il risultato del prodotto di numeri primi.

E via scomposizioni di numeri, divisibilità, … I numeri primi servono per scomporre. Infatti ogni numero naturale (n>1) si può scrivere in un modo unico, come prodotto di numeri primi… tanto che i numeri che non sono primi si dicono composti.

A me piace pensare invece che i numeri primi sono i numeri con i quali si può costruire, sì, con i numeri primi si possono costruire tutti gli altri numeri!

I numeri primi sono numeri naturali, appartengono cioè a N, l’insieme dei numeri naturali che comprende tutti i numeri interi non negativi (tutti i numeri interi a partire da 0).
In particolare, 0 non è primo perché è divisibile per infiniti numeri, oltre a se stesso; 1 non è primo perché … ha un solo divisore, se stesso.
2 è il primo numero primo… ed è l’unico numero primo pari! Infatti i numeri pari maggiori di 2 sono divisibili per 2 e quindi composti! Tutti gli altri sono dispari!

Sono infiniti, come dimostrato già da Euclide, e sempre più rari… come in un deserto!
E la solitudine cosa c’entra? Si tratta dei numeri gemelli, i numeri primi divisi tra loro solo da un numero (composto). Allora 2 e 3, che sono due numeri primi che non sono separati da nessun numero, sono gemelli? Sì, ma … siamesi!

A cosa servono i numeri primi?

A scuola passiamo mesi a scomporre i numeri in fattori primi, come si dice… per calcolare il Massimo Comune Divisore e il minimo comune multiplo.

Facciamo un esempio di scomposizione dei numeri in fattori primi:
35 si può scomporre in 5 e 7, infatti 35 = 5 x 7… due numeri primi … e sì, ancora una volta le tabelline!

Grazie ai numeri primi possiamo calcolare il Massimo Comune Divisore e il minimo comune multiplo.

Il Massimo Comune Divisore (M.C.D.) è il più grande tra i divisori comuni a due numeri. Il M.C.D. si ottiene prima scomponendo i numeri in fattori primi e poi moltiplicando tra loro i fattori comuni, presi una sola volta e con l’esponente minore.

Il minimo comune multiplo è il più piccolo fra i multipli comuni a due numeri. Il m.c.m. si ottiene prima scomponendo i numeri in fattori primi e poi moltiplicando tra loro tutti i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta e con l’esponente maggiore.

Ecco un esempio: troviamo il m.c.m. di 6, 4 e 13

  • 6 = 2×3
  • 4 = 22
  • 13 è un numero primo
  • c.m. = 22 x 3 x 13 = 156

Ma vediamo un esempio di utilizzo quotidiano, che trovate su redooc 

Oggi tu e la tua compagna di banco avete entrambi la maglietta della Tarta Redooc. Se lei la mette ogni 15 giorni e tu ogni 6, fra quanti giorni avrete di nuovo entrambi la maglietta della Tarta Redooc?

Fra 30 giorni avrete di nuovo entrambi la maglietta della Tarta Redooc!

Perché? Perché 30 è il m.c.m tra 15 e 6 giorni.

Utile la matematica, vero?

Continuate a seguire su radio 27 la matematica quotidiana di Redooc!