probabilita infinito

Alla scoperta della probabilità & dell’infinito!

“Come può uno scoglio arginare il mare?” cantava il mitico Lucio Battisti.

“Come può una scimmia scrivere la Divina Commedia?”, voglio invece domandarvi io… Facile, risponderete voi: “non può!!!”. E qui invece viene il bello: Emile Borel non la pensava così!

Oggi voglio dimostrarvi che non solo una scimmia può scrivere la Divina Commedia, ma che anzi, in certe particolari condizioni (in realtà una sola), una scimmia scriverà la Divina Commedia quasi sicuramente (che in termini matematici vuol dire che lo farà con probabilità 1). Curiosi di sapere quale è la potentissima condizione che fa sì che una scimmia riesca a scrivere quasi certamente il primo testo italiano?  L’unica condizione è che il tempo a sua disposizione sia infinito.

La nostra scimmia ha infatti a disposizione una tastiera di m caratteri tutti con la stessa probabilità 1/m di essere battuti ogni volta. Poiché la probabilità dell’intersezione di eventi indipendenti è pari al prodotto delle singole probabilità, la probabilità che la nostra scimmia scriva un qualunque testo di k elementi è pari a (1/m)^k che, per quanto piccola, è comunque strettamente maggiore di 0.

Ci siete fin qui? Proseguiamo. Dato un evento con probabilità x, la probabilità del suo evento complementare è 1-x. Quindi la probabilità di non scrivere il nostro testo di k caratteri è data da 1-(1/m^k). Ora immaginiamo che la nostra scimmia possa fare n tentativi di scrivere il testo: la probabilità di non scrivere mai il testo si riduce a (1-1/m^k)^n. Se ora facciamo tendere n a infinito, questa probabilità va a 0. Quindi la probabilità che la nostra scimmia scriva il nostro testo di k caratteri avendo a disposizione un numero infinito di tentativi è proprio pari a 1. Come volevamo dimostrare, la nostra scimmia con un tempo infinito a disposizione, quasi certamente scriverà la Divina Commedia!

Quello che abbiamo dimostrato è il cosiddetto teorema della scimmia instancabile. Una nota curiosa: il testo cambia da Paese a Paese. Gli anglosassoni ad esempio usano l’Amleto, mentre i francesi, nella loro grandeur, considerano tutti i volumi della Biblioteca Nazionale di Francia!

 

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