Musica e matematica sono “amiche” da sempre! Ti sembra impossibile? Eppure è un concetto nient’affatto nuovo! Il legame tra musica e matematica è stato scoperto in tempi molto antichi, che risalgono al genio di Pitagora. Egli fu il primo a intuire l’esistenza di rapporti numerici tra le frequenze e tramite questi costruì la prima scala musicale. Ma questo rapporto venne poi studiato da moltissimi scienziati, filosofi, musicisti quali Tolomeo, Zarlino, Galileo Galilei, Jean-Philippe Rameau, Leibniz, …

“La musica è il piacere che la mente umana prova quando conta senza essere conscia di contare”

G.W. Von Leibniz

Musica e Matematica legate sin dall’antichità

L’aneddoto che racconta di come Pitagora scoprì il ponte tra musica e matematica, è tramandato da Giamblico di Calcide. Pitagora udì un giorno un fabbro che batteva martelli di pesi diversi sull’incudine. Notò che a seconda del peso variava la frequenza del suono, producendo tintinnii più o meno piacevoli. Indagando sul perché, Pitagora si rese conto che martelli i cui pesi stavano in precisi rapporti producevano suoni consonanti (piacevoli).

In laboratorio Pitagora tese delle corde elastiche (nervi di bue) tramite pesi differenti. Qui scoprì che vi era una consonanza tra coppie di suoni, quando le tensioni stavano fra loro in un rapporto di 4:1 o di 9:4. Una corda tesa da un peso quadruplo emette quindi una nota di frequenza doppia. Possiamo dire che dista un intervallo di ottava dalla precedente. Il nostro cervello percepisce le due frequenze “uguali”, ma una più acuta rispetto all’altra.

Oggi sappiamo che la frequenza fondamentale f0 del suono emesso da una corda tesa, posta in vibrazione, è direttamente proporzionale alla radice quadrata della tensione T cui la corda è sottoposta e inversamente proporzionale alla sua lunghezza L e, sotto radice, alla sua densità ρ e alla sua sezione S:

I pitagorici scoprirono dunque che le lunghezze delle corde, in precisi rapporti tra esse, producono dei suoni gradevoli:

Un intervallo è dunque un rapporto tra le frequenze delle note considerate.

Questa proprietà vale sia “allungando” la nostra corda, sia “accorciandola”, ovvero premendo un punto della corda, posto ad un preciso rapporto di distanza. Se premiamo la corda esattamente a metà e ne pizzichiamo una delle due metà, otteniamo una nota all’ottava superiore. Nella pratica:

Se la corda libera emette la nota di riferimento “Do”, la stessa corda

• dimezzata, suona il “Do” all’ottava superiore (più acuto);
• ridotta ai sui 3/4, suona un “Fa” (Quarta)
• ridotta ai suoi 2/3, suona un “Sol” (Quinta)

[Potete vedere questo procedimento spiegato molto bene nel Walt Disney “Paperino nel mondo della Matemagica” (1959)]

I progressi dei pitagorici arrivarono alla costruzione di una scala diatonica pitagorica. Essa era composta da sette note, prima di arrivare all’ottava nota, “uguale” alla prima ma più acuta. Il “numero” (Ottava, quinta, terza, quarta, …) assegnato all’intervallo dipende dalle note che vi si contano all’interno, facendo riferimento alla scala: DO – SOL, intervallo di Quinta, poiché da DO a SOL vi sono 5 note: DO, RE, MI, FA, SOL.

Oltre Pitagora

Il secondo principio per dividere l’ottava in un dato numero di parti fu ideato da Archita, tarantino di scuola greca (430-348 a.C.). Fu ripreso dai greco-latini Didimo (I sec. a.C.), e Tolomeo (83-161 d.C.), ma trovò applicazione pratica solo con l’avvento della musica tonale e con la successiva teorizzazione formulata da Gioseffo Zarlino (1517-1590) nel 1558.

Mentre il sistema pitagorico prevedeva la divisione della corda in 2, 3 o 4 parti, la novità del sistema tolemaico consisteva nella possibilità di dividere la corda in 5 e 6 parti. Si aggiunsero tra gli intervalli fondamentali anche la terza maggiore (5/4) e la terza minore (6/5). Inizialmente non fu tramandata questa scala poiché gli intervalli di terza non erano ritenuti abbastanza consonanti dai Greci.

Gli altri intervalli si ottenevano da quelli già determinati:

• la seconda maggiore come differenza fra una quinta e una quarta giusta: 3/2 : 4/3 = 9/8

• la sesta maggiore come somma fra una quarta giusta e una terza maggiore: 4/3 : 5/4 = 5/3

• la settima maggiore come somma di una quinta giusta e di una terza maggiore:  3/2 : 5/4 = 15/8

I suoni che costituiscono la scala zarliniana attingono dalla serie degli armonici naturali di una nota di riferimento. Per questo motivo viene detta anche scala naturale. Tale serie può essere generata scegliendo una nota di riferimento e moltiplicandone la frequenza per 2, 3, 4 eccetera. Per riportare le note così generate nell’ambito dell’ottava di partenza si divide la loro frequenza per 2n dove n indica il numero di ottave percorse dalla nota di partenza. Infine si eliminano gli eventuali doppioni ottenuti.

La tradizione impone che le note componenti la scala diatonica siano 7:

mentre quelle che compongono la scala cromatica siano 12. Si aggiungono alle 7 note della scala diatonica naturale 5 note alterate, toccando così tutte le note possibili.

Spiegare la Musica con la Matematica e la Matematica con la Musica

Musica e Matematica, apparentemente diametralmente opposte – la prima una forma d’arte, la seconda una scienza esatta – hanno dunque in realtà molti aspetti in comune. Il loro studio combinato, non può far altro che dare benefici in entrambi i sensi del rapporto.

Se è infatti vero che l’aiuto della matematica fu fondamentale nello studio e nella comprensione della musica, come ci ricorda anche il compositore Jean-Philippe Rameau (vissuto a cavallo tra il XVII e il XVIII secolo):

“Nonostante tutta l’esperienza che io possa aver acquisito nella musica per il fatto di essermi associato tanto a lungo con essa, devo confessare che solo con l’aiuto della matematica le mie idee si sono chiarite”

è altrettanto vero che a volte, nella storia, la musica ha anticipato dei concetti matematici scoperti solo in seguito.

Pensiamo ad esempio al Pentagramma: altro non è che un piano cartesiano. L’asse delle ascisse è rappresentata dai tempi, e l’asse delle ordinate dalla frequenza e quindi dall’altezza del suono.

Geometrie Musicali

Attraverso il linguaggio della geometria, è possibile descrivere e apprezzare le cosiddette simmetrie musicali. Vennero utilizzate sistematicamente da J.S. Bach (ad esempio nelle opere Variazioni Goldberg, l’Offerta musicale e L’arte della fuga). Vediamone alcune.

• La traslazione orizzontale è trasformazione isometrica (“isometrico” che mantiene i rapporti tra le distanze”) che provoca uno spostamento della figura interessata sull’asse delle ascisse, senza che la forma venga modificata o ruotata. Trova una corrispondenza in musica nella ripetizione oppure nel canone musicale (con l’unico vincolo che in musica il vettore di spostamento dev’essere positivo), a seconda della quantità di tempo di cui viene traslato il frammento musicale (uguale, maggiore o minore alla sua durata).

Un esempio di ripetizione è il celebre “Fra Martino”.

Nel canone la melodia traslata inizia quando ancora non si è conclusa l’originale. Si crea così l’idea di più voci che si sovrappongono:

Se la traslazione è sull’asse verticale, musicalmente otterremo una trasposizione, ovvero la stessa melodia ma in una tonalità differente.

• Un’altra trasformazione isometrica che troviamo in musica è la riflessione. Prendiamo in considerazione la simmetria assiale: fissata una retta nel piano, ad ogni punto della figura corrisponde un secondo punto dalla parte opposta rispetto all’asse, tale che abbia la stessa distanza dalla retta. In sostanza, l’immagine viene “ribaltata” dall’altra parte della retta e la vediamo come se fosse riflessa nello specchio.

In musica, se l’asse di riflessione è verticale, si ottiene una retrogradazione. Vale a dire la riscrittura di una melodia, a partire però dall’ultima nota e ripercorrendo all’indietro nella sequenza contraria la successione delle note.

Se Melodia Originale e Retrograda vengono suonate una di seguito all’altra, saremo di fronte a un caso di “simmetria melodica”.

Se la riflessione avviene su un asse orizzontale, musicalmente otteniamo una inversione. Se la melodia sale di un semitono, l’inversa scenderà di un semitono.

• La Simmetria Centrale è invece la riflessione di una figura rispetto a un punto, detto centro di simmetria. Ad ogni punto della figura corrisponde un secondo punto, tale che il centro di simmetria coincida con il punto medio del segmento che congiunge i due punti.

In musica, il risultato che si ottiene applicando questa trasformazione viene detto inversione retrograda. Infatti è dato dalla combinazione di una retrogradazione (simmetria su asse verticale) e una inversione (simmetria su asse orizzontale). Anche in geometria la simmetria centrale può essere vista come la combinazione di una simmetria assiale su asse verticale e di una su asse orizzontale.

Le stesse trasformazioni, basilari per tutta la polifonia, sono poi state formulate esplicitamente come regole della dodecafonia.

Il Canone Inverso e il Nastro di Möbius

Maestro di queste trasformazioni “geometrico-musicali” era indubbiamente J.S. Bach, che propone ad esempio il canone cancrizzante o inverso.

Come si può notare, il conseguente retrogrado (in rosso nella figura sopra) è la stessa melodia dell’antecedente (in nero), suonata a partire dall’ultima nota e ripercorrendola a ritroso.

Questo particolare canone è stato preso ad esempio dai ricercatori della Simons Foundation. Hanno analizzato il rapporto tra musica e matematica, attraverso gli occhi della topologia – importante branca della matematica moderna che studia le proprietà di figure e forme che non cambiano dopo l’applicazione di una deformazione.

Prendendo spunto dal lavoro di Dmitri Tymoczko “A geometry of music”, la Fondazione ha spiegato come le proprietà del nastro di Möbius – una striscia di carta le cui estremità, ruotate di 180°, vengono incollate l’una all’altra; se si traccia una riga su una superficie del foglio, si può percorrere tutto il nastro senza mai staccare la penna, poiché ha una sola superficie – possano essere utilizzate per comprendere l’armonia che lega due corde con note diverse.

I matematici hanno mostrato, grazie a software di visualizzazione grafica, come alcune melodie corrispondano alle proprietà di opportune figure geometriche. Un esempio di quanto detto è visibile in un filmato, caricato su youtube nel 2009. 

Nuove metodologie didattiche

Come abbiamo visto, sono moltissimi i ponti che legano musica e matematica. Infatti è stata sviluppata una metodologia didattica che permette l’insegnamento della matematica attraverso la musica: Doremat. Si tratta di un nuovo approccio che sfrutta le analogie tra musica e matematica e correla, in chiave musicale le competenze matematiche così come sono indicate nel quadro normativo nazionale.

“Il lampo di illuminazione a cui i matematici anelano assomiglia sovente all’atto di battere sui tasti di un pianoforte finché all’improvviso non si trova una combinazione di note che contiene un’armonia interna.”

M.du Sautoy, L’enigma dei numeri primi

Guarda la nostra lezione “Le frazioni…In musica!”.

Scopri redooc.com con tutti i nostri video e centinaia di livelli di esercizi. Clicca qui per accedere o registrarti e cominciare a giocare!