storia matematica le origini in egitto

Gli egizi e la matematica inutile del problema 79

Vi ricordate del buon vecchio Ahmes? Dai, l’autore del Papiro di Rhind…il primo documento matematico della storia dell’uomo!
Beh oltre ad aver fatto tutte quelle cose belle di cui abbiamo già parlato, ha anche scritto il più antico indovinello matematico che sia mai stato ritrovato.
Ma non era un giochino qualsiasi: era strutturato apposta per far ragionare astrattamente su cosa si stava calcolando e come lo si stava facendo. Non vi ricorda qualcosa come una lezione di matematica??

Ciò che più di tutto fa pensare che il primo testo di matematica della storia fosse destinato a giovani studenti è la forma dell’indovinello e del gioco usato per molti dei problemi descritti nel papiro di Ahmes. Tra questi il più importante è il Problema 79. Questo esercizio è l’unico “inutile” della raccolta, cioè che non porta a una soluzione pratica, perché non interessa la risposta particolare, ma il procedimento con cui si arriva a calcolarne la risposta, grazie alla “teoria” della matematica:

In una proprietà ci sono 7 case.
In ogni casa ci sono 7 gatti.
Ogni gatto acchiappa 7 topi.
Ogni topo mangia 7 spighe.
Ogni spiga dà 7 heqat di grano.
Quante cose ci sono in tutto in questa storia?

(Tra tutti quelli che hanno citato questo gioco, il più illustre é certamente Fibonacci nel suo Liber Abbaci del 1202, nella versione delle sette vecchie in viaggio per Roma)

SOLUZIONE ALL’ENIGMA:

Case 71 = 7
Gatti 72 = 49
Topi 73 = 343
Spighe 74 = 2.401
Heqat 75 = 16.807
Totale 19.607
Qualcuno potrebbe obiettare che all’inizio si parla anche di una proprietà, perciò le cose di cui si parla in questa storia sarebbero: 19.607+1 = 19.608.

Noterete che la procedura comincia da un numero, il 2801: questo viene poi raddoppiato una volta (5602) e poi un’altra (11204). La somma di queste tre cifre è proprio 19607!
Come si arriva a questa procedura? Essa deriva da due proprietà matematiche che gli antichi Egizi evidentemente conoscevano:

PRIMA PROPRIETÀ: Ogni numero intero può essere espresso come somma di termini appartenenti alla successione geometrica 1, 2, 4, 8, ecc. Ad esempio possiamo scrivere 7 come 1 + 2 + 4.

SECONDA PROPRIETÀ: x + x2 + x+ … + xn = x (1 + x + x2 + … + xn-1)

Questa è semplicemente un raccoglimento a fattor comune: si noti che consente di risolvere la somma in modo “iterativo”, riducendo il numero di moltiplicazioni necessarie.

Ora, per risolvere il problema 79, non dobbiamo fare altro che calcolare la seguente somma:
7 + 72 + 73 + 74 + 75 =

grazie alla seconda proprietà, possiamo raccogliere il 7:
= 7 ∙ (1 + 7 + 72 + 73 + 74 ) = 7 ∙ 2801 =

ecco da dove viene il 2801. Usando ora la prima proprietà, scomponiamo il 7 e arriviamo alla soluzione:
= (1 + 2 + 4) ∙ 2801 = 2810 + 2 ∙ 2801 + 2 ∙ 2 ∙ 2801 = 19607

Dunque lo scopo del problema 79 era probabilmente quello di mostrare una procedura di calcolo alternativa e più agevole rispetto alla somma diretta delle potenze.