Hotel infinito!

Continuiamo a navigare tra le bellezze dell’infinito. Questa volta spostiamoci nel mondo dei viaggi. Ai meno organizzati di noi sarà sicuramente capitato di arrivare in una città e non trovare posto in albergo. Bene, voglio parlarvi di un albergo in cui questo problema non si pone. E’ chiamato Hotel Hilbert, dal nome del grande matematico tedesco che ha usato questo esempio, nella forma di paradosso, per rappresentare in maniera semplice la grandissima differenza che esiste fra insiemi finiti e insiemi infiniti.

L’Hotel Hilbert è un hotel infinto poichè possiede infinite stanze, ma tutte occupate. Immaginando che arrivi un nuovo ospite, come facciamo a sistemarlo in albergo? Il buon Hilbert ci dice che basta spostare tutti gli ospiti già presenti nella camera successiva (ad esempio l’ospite che sta alla 10 andrà nella 11): con infinite camere sarà sempre possibile andare da n a n+1, e assegnare al nuovo arrivato la stanza numero 1 che resta libera.

Supponiamo ora che arrivi in albergo un numero infinito di persone: è possibile sistemare anche tutti loro nell’Hotel Hilbert? La risposta anche in questo caso è positiva. Hilbert ci suggerisce di spostare ognuno dei nostri ospiti nella camera di numero doppio (verranno occupate quindi solo le pari) e di sistemare i nuovi arrivati nelle camere di numero dispari, rimaste tutte libere… tutto ciò è possibile perché anche i numeri pari e dispari sono infiniti… bello no?

E veniamo infine all’esempio più complesso. In città ci sono un numero infinito di alberghi tutti con infinite stanze tutte occupate. Supponiamo che siano costretti a chiudere tutti tranne l’Hotel Hilbert e che quindi tutti i loro clienti vengano a bussare alle porte dell’Hotel Hilbert. E’ possibile sistemare anche tutte queste persone nell’Hotel Hilbert? La risposta è sì, e il buon Hilbert ci mostra anche come fare! Andiamo a contrassegnare ogni persona con una coppia di numeri (m,n) in cui m rappresenta l’albergo di provenienza (diamo m=1 ai già ospiti dell’albergo) e n invece rappresenta la rispettiva camera precedentemente occupata. Abbiamo quindi una matrice con un infinito numero di righe e colonne. Muovendoci a zig-zag lungo questa matrice è possibile assegnare a ogni persona una stanza nell’Hotel Hilbert: ad esempio (1,1) stanza 1, (1,2) stanza 2, (2,1) stanza 3, (3,1) stanza 4, (2,2) stanza 5, (1,3) stanza 6, etc… Non vi sembra fantastico? A me sinceramente sì!

Se ora avete iniziato a pensare che l’Hotel Hilbert sia la panacea di tutti i mali del viaggiatore, mi dispiace dover bruscamente interrompere il vostro entusiasmo. L’Hotel “Infinito” di Hilbert permette di risolvere tutti i problemi quando abbiamo a che fare con infiniti numerabili, ma non riesce a risolverli quando abbiamo a che fare con gli infiniti di ordine maggiore (e.g. i numeri reali), come potete leggere in questo divertente articolo. Sì lo so: è in inglese! Ma son sicuro che non sarà una piccola difficoltà a fermarvi, perché anche voi fate parte del club del “Parigi, val bene una messa”.

Quelli che vi ho proposto settimana scorsa e questa settimana sono soltanto due esempi di proprietà dell’infinito. Non mi resta quindi che augurarvi buon viaggio nel mondo dell’infinito: portatevi nello zainetto solo tanta curiosità ed elasticità e vedrete che ne resterete affascinati!!!

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