Oggi ti proponiamo un nuovo articolo della nostra amica Paola Elefante. Quante volte ti sarai chiesto: “ma a cosa mi servirà la matematica nella vita?”, ebbene oggi proviamo a darti una delle tante risposte.

A cosa mi servirà la matematica nella vita? Radiografie e algoritmi

Dite la verità, quante volte, mentre imparavate le temibili formule di prostaferesi (a me suona sempre come una malattia), vi siete chiesti perché, a che pro, quella friggitura di neuroni.

Io stessa me lo sono chiesta tante volte e la matematica mi piaceva già! Vi svelo un segreto: ancora mi capita di chiedermelo, quando mi ritrovo a dover leggere qualche libro molto teorico.

La matematica non è immediata. Richiede impegno, analisi, riflessione. Tuttavia la fatica si sente meno quando si ha motivazione, quando si inquadra, seppur lontano, un obiettivo da raggiungere. Ecco, io vorrei raccontarvi un po’ di quello che succede all’orizzonte di tabelline, similitudini, trigonometria e derivate. Voglio dimostrarvi che sapere la matematica paga bene, anche quando non si diventa matematici.

Oggi vi mostro di come la matematica si riveli essenziale anche in medicina. Forse vi sarà capitato di fare una TAC, per un controllo, oppure una radiografia. Nulla di tutto ciò sarebbe possibile senza la matematica e, non solo: grazie alla matematica abbiamo forti speranze di migliorare questa tecnica e renderla sempre meno dannosa per i pazienti.

Partiamo da un semplice gioco. Guardate la tabella sottostante e calcolate le somme su tutte le righe, le colonne e le diagonali principali.

Facile, dite voi. Ma adesso facciamo il contrario: io vi do le somme su righe, colonne e diagonali principali e voi dovete dirmi i valori dentro alle celle.

Meno immediato, vero? Avete fatto la conoscenza di un cosiddetto “problema inverso”. I problemi inversi sono un’area di studio molto vasta e coinvolgono tantissime discipline oltre alla matematica: fisica, medicina, biologia, geologia, meterologia, astronomia, … . Si tratta di problemi in cui affrontare un verso (“problema diretto”) è facile – proprio come trovare le somme, conoscendo i valori nelle celle – mentre ragionare nel verso opposto non è banale.

Torniamo al nostro problema. Ci sono tante soluzioni possibili, ad esempio:

Sono sicura che d’istinto avete provato con i numeri naturali, ma dove stava scritto? Chi dice che non possiamo riempire le celle con numeri negativi o frazioni? Chissà quante altre soluzioni!

Adesso immaginate di avere una tabella molto più grande, diciamo 60×60: inizia ad essere complicato fare i conti a mano. Inoltre non vi dico più quali sono le somme su righe, colonne e diagonali, ma lungo rette con diverse inclinazioni:

Concorderete che ora fare i conti a mano sia un suicidio, altro che prostaferesi. E’ qui che la matematica arriva in soccorso. Questo problema di somme e celle da completare se l’era posto anche il matematico austriaco Johann Radon. A dirla tutta lui parlava di integrali e funzioni, ma è semplicemente una generalizzazione di questo problema.

Facciamo un salto temporale: 1895, viene inventata la radiografia da Wilhelm Conrad Röntgen. Ora vi spiego come funziona: i raggi X viaggiano in linea retta e, quando attraversano il vostro corpo (o un oggetto), vengono parzialmente assorbiti, più o meno a seconda del tipo di tessuto (o materiale) che attraversano. Ciò che riesce a passare viene misurato dal sensore. Vi faccio un altro esempio, per spiegarmi: immaginate un corridore che corre con velocità costante di 15 km/h dal punto A al punto B, per una distanza totale di 1 km. Nel mezzo del percorso passa attraverso una foresta e voi non sapete cosa essa contenga. Potete solo misurare la sua velocità a fine percorso. Ciò che sapete è che può incontrare tre tipi di terreno e come essi condizionano la sua velocità:

• fango: per ogni metro di fango attraversato, la sua velocità cala di 0.1 km/h
• rocce: per ogni metro di rocce attraversate, la sua velocità cala di 0.3 km/h
• terreno normale: la velocità resta invariata

La domanda è: che tipi di terreno, metratura inclusa, si trovano nella foresta? Ecco, nella radiografia la situazione è simile: possiamo misurare solo quanto i raggi X sono stati rallentati dal corpo e ci interessa sapere com’è fatto il nostro corpo internamente. Ricollegandoci al problema delle tabelle, immaginate che il numero in una cella rappresentasse il suo “potere assorbente” e che la somma lungo una riga rappresentasse quindi “quanto l’intera riga assorbiva in tutto”.

Ma allora perché andavo farneticando di tabelle più estese e somme lungo linee che andavano da tutte le parti? C’è un motivo, giuro.

Come potrete immaginare, una sola radiografia non può bastare per ricostruire la struttura interna del vostro corpo. Sarebbe come dire: “Tieni, questa è una foto dell’ombra del mio amico Luca, ora fammi un suo ritratto”. La matematica fa tanto, ma i miracoli no.

Ecco allora il trucco: il macchinario vi gira intorno (come noi “giravamo attorno” alla tabella), vi fa tante radiografie (calcola le “somme” di assorbimento) e poi… Beh, poi arriva in aiuto la matematica. Un tocco della teoria di Radon, un po’ di programmazione e il gioco è fatto. Questo procedimento si chiama tomografia computerizzata ed è ciò che il radiologo usa quando vi fa una TAC.

E il bello deve ancora venire! In anni recenti vari matematici – sottoscritta inclusa – stanno lavorando per elaborare algoritmi intelligenti in grado di ricostruire buone immagini tomografiche con meno informazioni, per diminuire le radiazioni negli esami medici. Siete ancora convinti che la matematica sia solo campata per aria? Ci rileggiamo al prossimo capitolo.

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